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Análisis Matemático 66
2025
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
12. La función $f$ satisface la ecuación $(5 x+1) f^{\prime}(x)+f(x)=1$ y $f(0)=2$. Encuentre el polinomio de Taylor de orden 5 en $x=0$.
Respuesta
Como ya venimos hablando en las clases cuando resolvimos ejercicios de polinomio de Taylor: El mejor consejo que te puedo dar en este tipo de problemas es arrancar estructurándonos la respuesta. Fijate que a vos te hablan de una función $f$, que verifica una determinada ecuación, ok, tranqui, ya veremos cómo usamos eso; pero lo que nos están pidiendo es el polinomio de Taylor de $f$ de orden $5$ centrado en $x=0$. Entonces, lo primero que hacemos es escribirnos eso:
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\( p(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{4}(0)}{4!}x^4 + \frac{f^{5}(0)}{5!}x^5 \)
Por suerte $f(0) = 2$, porque lo dice el enunciado, así que ya tenemos la primera pieza de este rompecabezas.
Ahora necesitamos $f'(0)$ y sabemos que $f$ verifica esta ecuación:
$(5 x+1) f^{\prime}(x)+f(x)=1$
Si evaluamos esta ecuación en $x=2$ nos queda:
\( (5\cdot 0+1)f'(0) + f(0) = 1 \)
Usamos que $f(0) = 2$, ya lo podemos reemplazar:
\( f'(0) + 2 = 1 \)
Despejamos:
\( f'(0) = -1 \)
Buenísimoooo, ya tenemos $f'(0)$. Ahora necesitamos $f''(0)$ ¿cómo podemos hacer para que nos aparezca en esa ecuación? ¡Podemos derivar ambos miembros! Acordate que eso es totalmente legal, lo vimos en varios ejemplos en clase, vos podés sumar lo mismo a ambos lados de la igualdad, multiplicar por lo mismo, derivar ambos lados, más adelante integrar ambos también... todo es válido siempre y cuando lo hagas a ambos lados de la igualdad.
Entonces, si tenemos:
$(5 x+1) f^{\prime}(x)+f(x)=1$
Derivamos ambos lados de la igualdad. Atenti a la izquierda usamos regla del producto al principio y nos queda:
\( 5f'(x) + (5x+1)f''(x) + f'(x) = 0 \)
Aclaración por si alguien se perdió: A la derecha nos quedó $0$ porque derivamos $1$... y eso es cero
Y ahora evaluamos en \( x=0 \), y acordate que $f'(0)$ y $f(0)$ ya las conocemos ;)
\( 5\cdot(-1)+ f''(0) -1 = 0 \)
Despejamos:
\( f''(0) = 6 \)
Genial, ya tenemos entonces $f''(0)$. Ahora, si necesitamos $f'''(0)$, bueno, volvemos a hacer lo mismo que antes, no? Derivamos ambos lados de la igualdad y nos va a aparecer la derivada tercera que necesitamos ;)
\( 5f''(x) + 5f''(x) + (5x+1)f'''(x) + f''(x) = 0 \)
Evaluamos en $x=0$
$5 \cdot 6 + 5 \cdot 6 + f'''(0) + 6 = 0$
$f'''(0) = -66$
Genial, ya falta menos! Ahora necesitamos $f^{(4)}(0)$, fijate que antes podemos agrupar términos de la ecuación:
\( 5f''(x) + 5f''(x) + (5x+1)f'''(x) + f''(x) = 0 \)
$11f''(x) + (5x+1)f'''(x) = 0$
Ahora si, derivamos ambos lados de la igualdad una vez más...
$11 f'''(x) + 5 f'''(x) + (5x+1) f^{(4)}(x) = 0$
$16 f'''(x)+ (5x+1) f^{(4)}(x) = 0$
Ahora evaluamos en $x=0$
$16 \cdot (-66) + f^{(4)}(0) = 0$
$f^{(4)}(0) = 1056$
Y ahí viene la últimaaaa, derivamos una vez más:
$16 f^{(4)}(x) + 5f^{(4)}(x) + (5x+1) f^{(5)}(x) = 0$
$21 f^{(4)}(x) + (5x+1)f^{(5)}(x) = 0$
Evaluamos en $x=0$
$21 \cdot 1056 + f^{(5)}(x) = 0$
$f^{(5)}(x) = -22176$
Bueno gente, ya tenemos entonces todas las piezas de nuestro rompecabezas. Si no me confundí en ninguna cuenta, la respuesta correcta nos queda:
\( p(x) = 2 - x + \frac{6}{2!}x^2 - \frac{66}{3!}x^3 + \frac{1056}{4!}x^4 - \frac{22176}{5!}x^5 \)
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